Exercícios resolvidos por alunos - 10.º e 11.º anos
Exercícios resolvidos por alunos de várias escolas do país, entre os anos de 2006 e 2014. Os exercícios foram apresentados como desafios, pelo que alguns apresentam um grau de dificuldade elevado, considerando que são dirigidos aos alunos do ensino secundário. Enunciados de Elísio Silva.
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Considera o plano α definidas pelas retas p e p’, paralelas. Representa os traços do plano α nos planos de projeção. Representa, ainda, as projeções da reta r pertencente ao plano α. Dados
a reta p é de perfil e está definida pelos pontos A (0; 6;3) e B (-3; 11);
a reta p’ contém o ponto C (5; 10; -2);
a reta r contém o ponto R, com -6 cm de abcissa e 7 cm de cota, e sua projeção frontal faz um ângulo de 15° (a.d.) com o eixo x.
Representa os traços nos planos de projeção dos planos θ e α. Dados
os pontos A e C pertencem a ambos os planos, B pertence ao plano α e D ao plano θ;
o traço frontal do plano α faz um ângulo de 45° (a.d.) com o eixo x e o traço horizontal do plano θ faz , também com este eixo, um ângulo de 60° (a.e.);
A tem – 7 cm de abcissa e 3 cm de cota;
B tem 4 cm de abcissa e pertence a ambos os planos de projeção;
Determine as projeções de uma reta n de nível (horizontal) com 2 cm de cota e concorrente com as retas de perfil p e p’, sem recorrer a processos geométricos auxiliares (rebatimentos; rotações; mudança do diedro de projeção). Dados
a reta p contém os pontos R (0; 0; 0) e S (7; 8);
a reta p’ contém os pontos M (-4; 6; 1) e N (-2; 7).
Representa as projeções da reta i de interseção dos planos α e ρ. Dados
o plano α interseta o eixo x num ponto com 1 cm de abcissa e os seus traços, nos planos de projeção, fazem ângulos de 65° (a.e.) e de 45° (a.d.) com o eixo x, respetivamente o traço horizontal e o traço frontal;
o traço horizontal do plano ρ é fronto-horizontal e tem 5 cm de afastamento;
a reta i contém o ponto P;
o ponto P tem -3 cm de abcissa e pertence ao bissetor dos diedros ímpares.
Representa as projeções da reta i de interseção dos planos α e θ. Dados
o traço horizontal do plano α faz um ângulo de 60° (a.d.) com o eixo x e o traço frontal do plano θ faz, também com este eixo, um ângulo de 60° (a.e.);
o plano α contêm o ponto F (7; 0; -3) e o plano θ contém o H (-4; 3; 0);
as projeções da reta i fazem ângulos de 60° (a.d.) e de 60° (a.e.) com o eixo x, respetivamente a projeção frontal e a projeção horizontal.
Representa uma pirâmide hexagonal regular de base oblíqua e situada no 1º diedro. Dados
o vértice principal da pirâmide tem -3 cm de abcissa e 2 cm de afastamento;
duas arestas laterais, consecutivas, estão contidas no plano horizontal de projeção e fazem ângulos de 30° e 60° (ambos de abertura à esquerda) com o eixo x;
Representa, em dupla projeção ortogonal, as projeções de uma pirâmide triangular oblíqua de base regular. Dados
a base está contida num plano que faz ângulos iguais com os três planos de projeção (xy, xz e yz);
a circunferência circunscrita à base tem 3,5 cm de raio, o seu centro tem 4 cm de abcissa e este dista o mesmo em relação aos três planos de projeção (xy, xz e yz);
cada uma das arestas da base é ortogonal um dos eixos (x, y e z);
Representa as projeções de uma pirâmide pentagonal regular Dados
a base está contida no plano oblíquo α;
o plano α interseta o eixo x num ponto com 4 cm de abcissa e os seus traços, nos planos de projeção, fazem ângulos de 45º (a.d.) e de 60º (a.d.), respetivamente, o traço frontal e o traço horizontal;
o lado de maior cota do pentágono é horizontal e o vértice que lhe é oposto pertence ao plano horizontal de projeção;
o vértice principal da pirâmide tem -4 cm de abcissa e pertence ao plano horizontal de projeção;
Representa os traços nos planos de projeção de três planos - α, α' e α'' - paralelos e equidistantes entre si. Dados
os traços frontais dos planos formam ângulos de 60° (a.e.) com eixo x e os seus traços horizontais formam ângulos inferiores a 45°(a.d.), também com o eixo x;
cada plano contém um ponto: R (-1; 0; 6), S (-6; 5;6) e T (-2; 4; 2), respetivamente os planos α, α'e α''
Determina os traços do plano de rampa θ paralelo à reta de perfil p, sem recorrer a processos geométricos auxiliares (rebatimentos; rotações; mudança do diedro de projeção). Dados
o plano θ contém o ponto P (-4; 3; 4);
a reta de perfil p está definida pelos pontos A (2; -2; 1) e B (3; 3).
Representa os traços, nos planos de projeção, do plano α perpendicular aos planos β e θ sem recorrer a processos geométricos auxiliares (terceira projeção, rotações/rebatimentos e mudança do diedro de projeção). Dados
o plano α interseta o eixo x num ponto com 2 cm de abcissa;
o plano β é passante e contém o ponto P (-5; 5; 3);
o plano θ está definido pelos pontos A (8; -2; 6), B (-9; 4; -3) e C (8; -3; 4)
Representa os traços nos planos de projeção dos planos θ e α, sabendo que são perpendiculares entre si. Dados
o traço frontal do plano θ interseta o eixo x num com 5 cm de abcissa e faz com este eixo um ângulo de 40º (a.d.)
o plano α contém a reta r. Esta reta está contida no β24, a sua projeção horizontal faz um ângulo de 40º (a.e.) e interseta o eixo x num ponto com 6 cm de abcissa;
Determina os traços nos planos de projeção do plano ω ortogonal aos planos θ e β13. Dados
o plano θ interseta o eixo x num ponto com abcissa nula e os seus traços fazem com este eixo ângulos de 80º (a.e.) e de 45º (a.d.), respetivamente, o traço frontal e o traço horizontal;
o plano ω interseta o eixo x num ponto com 4 cm de abcissa
Determina, em dupla projeção ortogonal, as projeções do ponto P, sabendo que este dista 5 cm dos pontos A e B. Represente, também, as projeções dos segmentos de reta [AP] e [BP]. Dados
A (4; 3; 5); B (-2; 2; 2);
o ponto P situa-se no 1º diedro e tem 3 cm de cota
Determina graficamente a verdadeira grandeza da distância entre os pontos R e S, situados no 1º diedro. Dados
o ponto R resulta da interseção de três planos - θ, α e β;
o ponto S tem 9 cm de afastamento e abcissa igual à do ponto R;
o plano θ é horizontal e tem 3 cm de cota;
o plano α é de topo, interseta o eixo x num ponto com 3 cm de abcissa e faz um diedro de 45º (a.d.) com o plano horizontal de projeção;
o plano β está definido pelo seu traço frontal e pelo ponto A (-6;-5; 5). O traço frontal interseta o eixo x num ponto com 1 cm de abcissa e faz com este eixo um ângulo de 45º (a.d.);
os pontos R e S são simétricos em relação a um plano de rampa que forma um diedro de 45º com o plano horizontal de projeção.
Determina, em dupla projeção ortogonal, as projeções da reta r, sabendo que esta faz um ângulo de 60º com o plano α. Dados
o plano α interseta o eixo x num ponto com 4 cm de abcissa e os seus traços fazem ângulos de 30º (a.d.) e de 45º (a.d.) com este eixo, respetivamente o traço e o traço horizontal;
a reta r contém os pontos R (2; 6; 6) e S;
o ponto S situa-se no 1º diedro, tem 2,5 de cota e pertence ao plano α.
Representa as projeções do sólido resultante da secção produzida numa esfera por um plano projetante frontal. Considere o sólido mais próximo do plano horizontal e projeção. Dados
os pontos A (2; 4; 8), B (-1; 3; 5) e C (8; 4) pertencem à circunferência de interseção do plano secante com a superfície esférica;
Representa as projeções do sólido resultante da secção produzida num tetraedro pelo β13. Considera o sólido compreendido entre o plano secante e o plano horizontal de projeção. Dados
A (6; 4; 7) é um dos 4 vértices do tetraedro;
uma das faces está contida no plano horizontal de projeção;
a aresta de menor afastamento é fronto-horizontal.
Numa folha de formato A4 (ao alto), representa as projeções de um triângulo [RST]. Determina a sombra projetada, nos planos de projeção, pelo triângulo. Utiliza a direção luminosa convencional. Dados
Representa as projeções de um cone oblíquo situado no 1º diedro, de acordo com os dados abaixo apresentados. Utilizando a direção luminosa convencional, determina a sombra própria do cone e a sua sombra real nos planos de projeção. Dados
a sombra do cone no plano horizontal de projeção é um círculo com 4 cm de raio e tem centro no ponto C (-4; -2; 0);
a base do cone é tangente ao plano frontal de projeção e está contida num plano projetante frontal;
uma, e só uma, geratriz do cone tem a direção da luz;
o vértice do cone pertence ao eixo x e tem abcissa superior à do ponto C.
Construa uma representação axonométrica ortogonal de uma forma tridimensional, composta por um paralelepípedo retângulo e por um prisma triangular reto. Todos os vértices têm coordenadas positivas. Considera, no desenho final, apenas o traçado das arestas visíveis do sólido. Sistema axonométrico
isometria.
Dados
cada sólido tem uma face contida no plano coordenado xy;
as bases do prisma triangular são triângulos retângulos e estão contidas em planos de perfil;
o paralelepípedo tem duas faces frontais;
os pontos D (8; 4; 2) e E (0; 0; 2) são extremos de uma diagonal de uma das faces do paralelepípedo
os pontos F (3; 4; 2) e G (0; 10; 0) são extremos de uma diagonal de uma das faces do prisma.
Construa uma representação axonométrica ortogonal de uma forma tridimensional, composta por uma pirâmide triangular e por um prisma triangular regular. Todos os vértices têm coordenadas positivas. Identifica, a traço interrompido, as arestas invisíveis do sólido. Sistema axonométrico
isometria.
Dados
uma das bases do prisma está contida no plano coordenado xy;
as faces laterais do prisma são quadrados;
o segmento de reta [MN] é uma das arestas da base superior do prisma;
M tem 6 cm de abcissa e pertence ao plano coordenado xz; N tem 4 cm de afastamento;
a base da pirâmide coincide com a base superior do prisma;
uma das faces laterais da pirâmide, [MNV], é equilátera e paralela ao plano axonométrico.
Constrói uma representação axonométrica ortogonal de uma forma tridimensional, composta por duas pirâmides quadrangulares oblíquas. O sólido fica situado no 1º triedro. Identifica, a traço interrompido, as arestas invisíveis do sólido. Sistema axonométrico
isometria.
Dados das pirâmides
o segmento de reta [MN] é uma aresta lateral comum às duas pirâmides, M (4; 1; 0) e N (4; 1; 8);
o ponto M é o vértice principal de uma das pirâmides e um dos vértices da base da outra pirâmide;
a aresta lateral [MN] é perpendicular às bases das pirâmides;
ambas as bases têm 4 cm de lado;
cada pirâmide tem uma face lateral paralela ao plano xz;
a aresta de menor abcissa é uma das arestas de maior cota, do sólido composto.
Construa uma representação axonométrica ortogonal de um prisma quadrangular regular. O sólido fica situado no 1º triedro. Identifica, a traço interrompido, as arestas invisíveis do sólido. Sistema axonométrico
anisometria - xÔz=125°; yÔz=115°.
Dados do prisma quadrangular regular:
uma das bases está assente no plano xy;
uma das diagonais internas (espaciais) é perpendicular ao plano axonométrico e contém o vértice A (3; 3; 0);
Representa a projeção axonométrica oblíqua de uma forma tridimensional, composta por dois prismas quadrangulares. Considere, no desenho final, apenas o traçado das arestas visíveis do sólido Sistema axonométrico
cavaleira;
o eixo axonométrico x faz um ângulo de 155º com o eixo axonométrico z;
Considera os eixos orientados em sentido direto: o eixo z, vertical, orientado positivamente de baixo para cima, e o eixo x, orientado positivamente da direita para a esquerda;
as projetantes fazem ângulos de 55º com o plano axonométrico.
Dados
um dos prismas é regular e tem uma face contida em cada um dos planos coordenados;
R (3; 3; 7) é um vértice do prisma;
o outro prisma é oblíquo e tem as bases de perfil (paralelas ao plano coordenado yz);
o segmento de reta [RS] é uma das diagonais da base de menor abcissa;
S (3; 0; 4);
a diagonal interna (espacial) do prisma oblíquo que tem um dos extremos em R é projetante.
Constrói uma representação axonométrica oblíqua de uma forma tridimensional, composta por um prisma quadrangular oblíquo e por um prisma triangular regular. Considera, no desenho final, apenas o traçado das arestas visíveis do sólido Sistema axonométrico
militar (planométrica);
o eixo axonométrico x faz um ângulo de 125º com o eixo axonométrico z;
Considera os eixos orientados em sentido direto: o eixo z, vertical, orientado positivamente de baixo para cima, e o eixo x, orientado positivamente da direita para a esquerda.
as projetantes fazem ângulos de 50º com o plano axonométrico.
Dados
os pontos R (0; 8; 4) e S (4; 8; 4) são extremos de uma aresta lateral do prisma triangular;
este prisma tem uma face lateral contida no plano coordenado xy;
as bases do prisma quadrangular têm 4 cm de lado e são horizontais;
a aresta lateral de maior afastamento e de menor abcissa deste prisma pertence ao plano coordenado yz, faz um ângulo de 60º com o plano coordenado xy e o ponto R é o seu ponto médio;
a aresta de menor afastamento do sólido composto é paralela ao eixo x e tem cota nula.
Constrói uma representação axonométrica oblíqua da forma tridimensional representada em tamanho natural, em tripla projeção ortogonal, apresentada na figura. Sistema axonométrico
militar (planométrica);
o eixo axonométrico x faz um ângulo de 135º com o eixo axonométrico z;
considera os eixos orientados em sentido direto: o eixo z, vertical, orientado positivamente de baixo para cima, e o eixo x, orientado positivamente da direita para a esquerda;
as projetantes fazem ângulos de 50º com o plano axonométrico.
